Wat Maakt Een Relatie Tot Een Functie?

Wiskundige functies zijn krachtige hulpmiddelen voor het bedrijfsleven, de techniek en de wetenschappen, omdat ze kunnen dienen als miniatuurmodellen van fenomenen uit de echte wereld. Om functies en relaties te begrijpen, moet je een beetje graven in concepten zoals sets, geordende paren en relaties. Een functie is een speciaal soort relatie die slechts één y-waarde heeft voor een gegeven x-waarde. Er bestaan ​​andere soorten relaties die op functies lijken, maar niet voldoen aan de strikte definitie ervan.

Sets, Geordende Paren En Relaties

Om relaties en functies te beschrijven, helpt het om eerst sets en geordende paren te bespreken. In het kort: een reeks getallen is een verzameling daarvan, meestal tussen accolades, zoals {15,1, 2/3} of {0, .22}. Meestal definieert u een set met een regel, zoals alle even getallen tussen 2 en 10, inclusief: {2,4,6,8,10}.

Een set kan een willekeurig aantal elementen bevatten, of helemaal geen, dat wil zeggen de nulset {}. Een geordend paar is een groep van twee getallen tussen haakjes, zoals (0,1) en (45, −2). Gemakshalve kunt u de eerste waarde in een geordend paar de x-waarde noemen en de tweede de y-waarde. Een relatie organiseert geordende paren in een set. De verzameling {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} is bijvoorbeeld een relatie. U kunt de x- en y-waarden van een relatie in een grafiek uitzetten met behulp van de x- en y-assen.

Relaties En Functies

Een functie is een relatie waarin elke gegeven x-waarde slechts één overeenkomstige y-waarde heeft. Je zou kunnen denken dat bij geordende paren elke x sowieso maar één y-waarde heeft. Merk echter op dat in het bovenstaande voorbeeld van een relatie de x-waarden 1 en 2 elk twee corresponderende y-waarden hebben, respectievelijk 0 en 5, en 10 en 15. Deze relatie is geen functie. De regel geeft de functierelatie een definitiviteit die anders niet bestaat, in termen van x-waarden. Je zou je kunnen afvragen, als x 1 is, wat is dan de y-waarde? Voor de bovenstaande relatie heeft de vraag geen definitief antwoord; het kan 0, 5 of beide zijn.

Bekijk nu een voorbeeld van een relatie die een echte functie is: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. De x-waarden worden nergens herhaald. Kijk als een ander voorbeeld naar {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Sommige y-waarden worden herhaald, maar dit is niet in strijd met de regel. Je kunt nog steeds zeggen dat wanneer de waarde van x 0 is, y zeker 5 is.

Grafische Functies: Verticale Lijntest

U kunt zien of een relatie een functie is door de getallen in een grafiek uit te zetten en de verticale lijntest toe te passen. Als er geen verticale lijn door de grafiek loopt en deze op meer dan één punt snijdt, is de relatie een functie.

Functioneert Als Vergelijkingen

Het opschrijven van een reeks geordende paren als functie is een eenvoudig voorbeeld, maar wordt al snel vervelend als je meer dan een paar getallen hebt. Om dit probleem aan te pakken, schrijven wiskundigen functies in termen van vergelijkingen, zoals

Met behulp van deze compacte vergelijking kunt u zoveel geordende paren genereren als u wilt: sluit verschillende waarden aan voor x, reken uit en bepaal uw y-waarden.

Real-world Gebruik Van Functies

Veel functies dienen als wiskundige modellen, waardoor mensen details van verschijnselen kunnen begrijpen die anders mysterieus zouden blijven. Om een ​​eenvoudig voorbeeld te geven: de afstandsvergelijking voor een vallend object is

waarbij t de tijd in seconden is, en g de versnelling als gevolg van de zwaartekracht. Sluit 9,8 aan voor de zwaartekracht van de aarde in meters per seconde in het kwadraat, en je kunt de afstand waarop een object is gevallen op elk gewenst moment vinden. Merk op dat modellen, ondanks al hun bruikbaarheid, beperkingen hebben. De voorbeeldvergelijking werkt goed voor het laten vallen van een stalen bal, maar geen veer, omdat de lucht de veer vertraagt.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *